Description

Ce cours s'adresse à des lecteurs ayant les connaissances
d'un premier cycle en mathématiques. Il se situe au niveau
de la licence et traite d'un certain nombre de questions de
base, choisies pour être une introduction à la théorie des
systèmes dynamiques.

Le texte commence par un chapitre sur les équations
différentielles (non linéaires) où l'existence et l'unicité
des solutions maximales sont établies et où leur durée de
vie est discutée. Dans le cas d'une équation différentielle
indépendante du temps, l'ensemble de toutes les solutions
s'organise en un flot dont les propriétés sont
remarquables. Puis vient le calcul différentiel proprement
dit avec le théorème des fonctions implicites et ses
premières applications géométriques (sous-variétés). Avec
ces outils on peut reprendre l'étude des équations
différentielles et aborder des questions capitales telles
que la stabilité des équilibres.

Dans le calcul intégral on expose la théorie de la
mesure, telle qu'elle peut servir en probabilité, puis
l'intégrale de Lebesgue sur un espace mesuré avec le fameux
théorème de convergence dominée et certaines de ses
applications. Le dernier chapitre "intégrales multiples"
mélange le calcul différentiel et le calcul intégral. Le
théorème de Fubini est exposé dans le cadre des espaces
mesurés. L'intégrale de Lebesgue sur Rn admet une formule
pour les changements de variable continûment
différentiables qui explique comment le flot d'un champ de
vecteurs transporte la mesure de Lebesgue. La formule de
Stokes calcule les intégrables de flux. Le cours se conclut
sur le principe de récurrence de Poincaré en mécanique
conservatrice.