Description

Transformations birationnelles de petit degré

Depuis la fin du XIX^e siècle on sait que toute transformation birationnelle du plan projectif complexe dans lui-même, encore appelée transformation de Cremona, s'écrit comme la composée de transformations birationnelles quadratiques ; ceci a motivé notre travail qui porte essentiellement sur ces transformations.

Nous établissons des propriétés de type algébriques comme la classification des groupes à un paramètre de transformations de Cremona quadratiques ou encore la lissité de l'espace des transformations birationnelles de degré 2 dans l'espace des transformations rationnelles : ceci nécessite une étude détaillée de l'action de (PGL₃ (...))² sur cet espace. On peut voir qu'un nombre fini de transformations de Cremona quadratiques choisies génériquement engendrent un groupe libre. Par ailleurs nous montrons que si (...) est une transformation birationnelle de degré 2 ou un automorphisme non trivial du plan projectif complexe, le sous-groupe normal engendré par (...) est le groupe des transformations de Cremona tout entier ; nous en déduisons que ce groupe est parfait.

Nous démontrons aussi des propriétés de nature dynamique : en suivant une idée de Guillot nous implantons aux transformations birationnelles de degré 2 des invariants propres aux feuilletages ce qui nous permet par exemple d'obtenir l'énoncé suivant : si deux transformations de Cremona quadratiques génériques sont birationnellement conjuguées, elle le sont linéairement ; nous nous intéressons à la présence ou non « d'objets invariants » : courbes, feuilletages, fibrations.

Enfin nous étudions les transformations de Cremona cubiques ; en considérant les différentes configurations possibles de courbes contractées nous en donnons « la classification ». Ceci nous permet de montrer que l'ensemble des transformations birationnelles exactement de degré 3 est irréductible, et en fait rationnellement connexe.