Description

Depuis les années 1990, les variétés rationnellement connexes jouent un rôle important dans la classification des variétés algébriques complexes. Dans les années 2000, on a commencé à étudier leurs propriétés arithmétiques. Ce volume, issu d'une rencontre « États de la recherche » (CNRS/SMF) organisée par J.-L. Colliot-Thélène, O. Debarre et A. Höring à Strasbourg en mai 2008, couvre un grand nombre des résultats obtenus dans cette direction. On y trouvera aussi de nombreuses questions ouvertes. On y trouvera aussi de nombreuses questions ouvertes. L'article de L. Bonavero décrit les propriétés fondamentales des variétés rationnellement connexes sur un corps algébriquement clos et offre une ouverture sur la géométrie birationnelle moderne. L'article de O. Wittenberg s'attache aux propriétés arithmétiques des variétés rationnellement connexes, tout spécialement sur les corps locaux et sur les corps finis (méthodes de déformation et méthodes cohomologiques). Sur les corps de fonctions d'une variable sur un corps algébriquement clos, une série de travaux porte sur la propriété d'approximation faible. Le rapport de B. Hassett décrit ces travaux et les techniques de déformation employées. La notion de variété rationnellement simplement connexe admet plusieurs variantes. L'article de J. Starr étudie les fibrations en de telles variétés au-dessus d'une surface complexe. Il culmine avec une démonstration partiellement simplifiée du théorème de A. J. de Jong, J. Starr et X. He : la conjecture II de Serre sur les espaces principaux homogènes vaut sur un corps de fonctions de deux variables sur les complexes.