Dieses Buch ist bei dem langjährigen Versuch entstanden, mit den üblichen Mathematikvorlesungen, wie ich sie in Kiel in den Jahren von 1962 bis 1968 gehört habe, die für die klassischen Feldtheorien und die Quantentheorie nötige Vektor-und Tensorrechnung zu verstehen. Mein Dank gilt deshalb all denen, bei denen ich Vektor-und Tensorrechnung gelernt habe, ohne daf~ ihnen dies vermutlich bekannt ist. Ich hoffe, daß ich niemanden im Literatur verzeichnis vergessen habe. Ich danke besonders Herrn Prof. Dr. Egon Richter, der wesentlich zum Entstehen dieses Buches beigetragen hat, da er sich nicht davon abbringen ließ, daß ein solches Buch notwendig sei. Allen Mitarbeitern unseres Lehrstuhls und sonstigen Zuhörern meiner Vorlesungen danke ich für alle zustimmenden oder kritischen Anregungen. Dem Vieweg Verlag danke ich für die freundliche und sehr angenehme Zusammenarbeit. Gerhard GerUch IV Inhaltsverzeichnis 1. Einführung............. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1 . . . . 2. Bezeichnungen der Mengenlehre und Algebra. . . . . . . . .. . . . 4 3. Grundbegriffe der linearen Algebra .................... 8 3.l. Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 8 . . . . . . . . 3.2. Der algebraische Dualraum oder Kovektorraum ................ 17 3.3. Der Dualraum der direkten Summe von Vektorräumen ........... 21 3.4. Das Identifizieren von Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 23 . . . . 3.5. Symmetrische Vektorräume ............................. 31 3.6. Herrnitesche Vektorräume ...................... . . . . . .. . 36 4. Grundbegriffe der multilinearen Algebra ................ 41 4.l. Tensoren.......................................... 41 4.2. Tensoren höherer Stufenzahl ............................ 54 4.3. Symmetrische und antisymmetrische Tensoren. . . . . . . . . . . .. . . 60 . . 4.4. Tensorprodukte von linearen Abbildungen ................... 73 4.5. Volumenfunktionen und alternierende Multilinearformen ......... 82 4.6. Ergänzungen und Graßmannsche Ergänzungen ................. 93 5. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten .................... 101 5.1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Physik. . . . . . . . . . . . . 101 . . . .

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